南开《数学文化》
讲师介绍
姓名：顾沛
课程介绍
本课程以难易适当的知识为载体，介绍数学的思想、精神，提高学生的数学素养，特别注意科学精神与人文精神 的融合。该课程注重知识性、趣味性、思想性、应用性的统一，注重师生互动。课程努力贯彻素质教育的思想，既着眼于提高学生的数学素质，又着眼于提高学生的 文化素质和思想素质。
笔记
第 1 课 序言（上）
数学文化的内涵
狭义：数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展。
广义：出上述内涵以外，还包含数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系，等等。
本课中使用“数学文化”一词，更多地倾向于他的狭义解释。
数学科学的研究对象，并不是某种具体的物质运动形态，而是从众多的物质运动形态中抽象出来的事务，是人脑的产物。数学，具有超越具体科学和普遍使用的特征，具有公共基础的地位。
“数学素养”的通俗说法——把所学的数学知识都排除或忘掉后，剩下的东西。
“数学素养”的专业说法
- 主动探寻并善于抓住数学问题的背景和本质的素养；
- 数量地用准确、简明、规范的数学语言表达自己的数学思想的素养；
- 具有良好的科学态度和创新精神，合理地提出新思想、新概念、新方法的素养；
- 对各种问题以“数学方式”的理性思维，从多角度探寻解决问题的方法的素养；
- 善于对现实世界中的现象和过程进行合理的简化和量化，建立数学模型的素养。
第 2 课 序言（下）
有两个人赛跑。甲到达100米终点线时，乙才跑到90米。现在如果让甲的起跑线退后10米，这时两人再同时起跑比赛，问比赛结果将怎样？为什么？
回答1：甲赢。根据题目可知乙的速度是甲的速度的90%，在甲跑到110米时，乙会跑到110*90%，即99米。所以甲赢。
回答2：甲赢。当乙跑到90米时，甲和乙是同时到达的。因为甲的起跑线退后10米，乙跑到90米时甲是90+10=100米。此时，甲和乙都距离终点线10米，而甲速度比乙快。所以甲赢。
需要说明的是，上面的问题不考虑加速度等情况，假设甲和乙都是匀速的。也不考虑其他现实世界中需要考虑的问题，比如状态、体力之类的。
第 3 课 有限与无限
“有无限个房间”的旅馆 1）客满后又来1位客人（客满指所有的房间都有人住，每间房住1位客人）
首先将第1间的客人移入第2间，第2间的客人移入第3间，第n间的客人移入第n+1间。 这样第1间就空出来了，即客人可以入住。
2）客满后又来了1个旅游团，旅游团中有无穷个客人
首先将第1间的客人移入第2间，第2间的客人移入第4间，第n间的客人移入第n*2间。 因为奇数是无穷个，所以客人可以入住。
3）客满后又来了10000个旅游团，旅游团中有无穷个客人
首先将第1间的客人移入第10001间，第2间的客人移入第20002间，第n间的客人移入第n10001间。 将每个旅游团第1位客人安排到1~10000的客房中，将每个旅游团第2位客人安排到10002 ~ 20001的客房中，将每个旅游团第n位客人安排到(n-1)10001+1~ n*10001-1的客房中，最后客人都可以入住。
我们可以将本来住在客满的旅馆中的客人也看做是1个旅游团，这样很容易就发现，当来n个拥有无限客人的旅游团时，我们是将无限分为n+1份。看到这里就你会明白来了1个拥有无限客人的旅游团是将无限分为2（1+1）份，而来了10000个拥有无限客人的旅游团则是将无限分为10001（1+10000）份。
但是现在有个问题，如果是来了无限个拥有无限客人的旅游团，怎么办呢？无限+1结果还是无限，新来的客人将无房间可住。这种方法可以解决有限个旅游团的问题，却不能解决无限个旅游团的问题。
仔细想想，来了无限个拥有无限客人的旅游团，其实是无限个拥有无限客人的旅游团如何安排到无限个房间中？我们转换一下思路，将旅游团都编个号，我们可以得到1、2、3、直至无限个旅游团。然后将每个旅游团中的每个客人进行编号，可以得到1-1，1-2，1-无限，2-1，2-2，2-无限，无限-1，无限-2，无限-无限。在全部都编好号码后，最后我们就可以将这些安排至无限个房间中了。
如果将“1-1，1-2，1-无限，2-1，2-2，2-无限，无限-1，无限-2，无限-无限”，中的连接符改为点，那么这些不就是小数吗？从这可以发现小数是和自然数是一一对应。再扩展一下，连接符也可以改为分隔符，没错分数也是和自然数一一对应的。从这里我们就可以知道为什么：“无穷集合的本质是在它里边可以找到一个真子集和全集一一对应。”
欧几里得的《几何原本》里边有这样一个公理，就是“部分小于全体”。这个公理只对有限集成立，对无限集“部分可以等于全体”。这个等于是在建立一一对应的这个理解下，两个集合，如果能够建立一个一一对应的关系，就把这两个集合中元素的个数叫做相等。
第 4 课 数学中的抽象
学会数学“抽象”是一种基本的数学素养。“抽象”是数学的武器，是数学的优势。
我们可将点分为奇节点（节点有奇数条线）和偶节点（节点有偶数条线），除了起点和终点，其他必须为偶节点（中间经过的那些点，因为有进有出，所以必然是偶数条线），所以一笔画的图形只能最多拥有2个奇节点。
第 5 课 “类比”的方法
合情推理它不同于逻辑推理，比如类比、归纳、联想、猜测。合情推理的结论可能是正确的，也可能是错误的。还要靠逻辑推理去证明或者证否。合情推理自己不是证明，因为它无法保证已知相同的属性与推出的属性之间有必然的联系。它只是合情的联系，但是它趋势活动新思路新发现的一种观点、一种手段、一种方法，所以它对于创新思维是很重要的。
1条线最多把平面分为2个部分，2条线最多把平面分为4个部分，而第3条线要分的最多，必须和之前2条线都相交。因为第3条线得到了2个新的交点，2个交点将直线分成了3部分。因此4+3=7。然后我们加入第4条线，和之前的3条线都相交，得到3个新交点，3个交点将直线分成了4部分，所以7+4=11。
由此可得公式：
f(1) = 2;
f(n) = f(n-1)+n;
3个平面最多把空间分成8个部分。然后新加入一个平面，要想把空间分的部分数最多，就要相交情况最复杂。所以新加进去的这个平面，就要与原来的3个平面都相交。因此，就在新增加的这个平面上，得到了3条新交线。而这3条新交线最多把新增加的这个平面分成了7个部分，这7个部分都把新增加的这个平面穿过的相应的空间部分一分为二。原来3个平面已经把空间分成了8个部分，然后增加一个平面后，有其中7个平面被一分为二，即8+7= 15。我们将平面加到5个，和之前4个都相交，得到4个新交线，而4个新交线将平面分成11个部分，所以15+11=26。
由此可得公式：
f(1) = 2;
f(n) = f(n-1)+n;
f2(1) = 2;
f2(n) = f2(n-1)+f(n-1);
第 6 课 “变中有不变”的观点
“变中有不变”对于圆来说是圆周率（π），对于直角三角形来说是勾股定理（斜边的平方等于其他两边的平方和）。在事物变化的时候它的某些性质不变，这就是“变中有不变”。