古今数学思想（一）

ISBN：9787532361724

作者：[美] 莫里斯·克莱因

译者：张理京 / 张锦炎 / 江泽涵

出版社：上海科学技术出版社

出版时间：2002-7

评价：☆☆☆☆☆

这本书我觉得有一个缺点是只在第四册的最后部分提供人名索引，并没有在书中使用括号注明原文或者注明译名这种方法。这种方式导致经常需要去翻看第四册的人名索引，严重影响了阅读时的连贯性和阅读感。另外为了不使资料漫无边际，作者在书中忽略了几种文化，例如中国、日本和玛雅，因为他们的工作对现代数学思想的主流没有重大的影响。越到后面，能看懂的越少，需要基础实在差太多，感觉深受打击。如果不是看到有人说，能看懂三成就值得，早就放弃了。不过第一册看完，感觉第一册也就看懂了三四成，还是放下后面几册，先去看看稍微简单一些的书。

美索不达米亚（主要是巴比伦人），他们用60，24，12，10，6，2混合进位制写出数，表示日期、面积、重量、钱币等。现代有很多方面深受其影响，特别是在时间日期方面。他们的成就主要在二次方程和一部分的多次方程，对于数论也有一些研究。相对于代数，巴比伦人的几何水平就低多了。他们并没有专门研究几何，总是在解决实际问题的时候才去搞几何，并且大部分问题都转换为代数问题，例如：划分土地。巴比伦人的数学主要是来解决经济问题，这是因为他们位于古代贸易通道上，商业活动范围很广，经济对他们数学发展的影响毋庸置疑。

埃及代数里如巴比伦一样未能认识到无理数的性质，在几何方面也如同巴比伦一样主要是解决划分土地的问题。相比巴比伦而言，埃及数学水平是比较低的。他们只会解一些最简单的二次方程，并不像巴比伦有解方程的概念。他们解方程是使用算术的方法，那些方程类似：x^2 + y^2 = 100; y = 3x /4;

在希腊出场之前，在巴比伦和埃及文明中，我们发现有整数和分数的算术，包括进位制记数发，有初步的代数和几何上的一些经验公式（PS：为什么叫经验公式？因为他们所使用的公式并不是证明出来的，而是长年累月的工作生活中积累的经验。）。几乎还没有成套的记号（不论是巴比伦的楔形文字还是埃及的象形文字，它们表示数字的那套记号都是不完整的，比不上印度的阿拉伯数字），几乎没有有意识的抽象思维，没有搞出一般的方法论，没有证明甚或直观推理的想法。

对于希腊，作者是相当推崇的。参照人名索引就可以看出希腊的人数众多，他们对现代西方文化的发展影响最大，对今日数学的奠基有决定性的作用。希腊人对数学看法本身的一个重大贡献是有意识地承认并强调：数学上的东西如数和图形是思维的抽象，同实际事物或实际形象是截然不同的。

《理想国》中有一段引文是讨论几何概念的。Plato（柏拉图）说：“你是否也知道，他们虽继续利用可见的形象并拿来进行推理，但他们想的并不是这些东西，而是类似于这些东西的理想形象……但他们力求看到事物本身，而这只有心灵之目才能看到。”在这里可以看出，在柏拉图所在的时期希腊人以及将数学看做是思维的抽象，并将数学思想当作进入哲学的阶梯。

《原本》（几何原本）定义（定义的编号按照Heath（希思）的版本） 1.点是没有部分的那种东西。 2.线是没有宽度的长度（线这个字指曲线）。 3.一线的两端是点（《原本》里没有无穷长度的曲线）。 4.直线是同其中各点看齐的线（欧几里得的直线是指我们所说的线段）。 5.面是只有长度和宽度的那种东西。 6.面的边缘是线（所以面也是有界的图形）。 7.平面是与其上直线看齐的那种面。 15.圆是包含在一（曲）线里的那种平面图形，使从其内某一点连到该线的所有直线都彼此相等。 16.于是那个店便叫圆的中心（简称圆心）。 17.圆的直径是通过圆心且两端终于圆周的任一直线，而且这样的直线也把圆平分。 23.平行直线是这样的一些直线，它们在同一平面内，而且往两个方向无限延长后在两个方向上都不会相交。

欧几里得采纳亚里士多德对公设和公理的区别，即公理是适用于一切科学的真理，而公设则只应用于几何。

欧几里得列出了5个公设和5个公理。

公设：

从任一点到任一点作直线[是可能的]。
把有限直线不断循直线延长[是可能的]。
以任一点为中心和任一距离[为半径]作一圆[是可能的]。
所有直角彼此相等。
若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。

公理：

跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的。
等量加等量，总量仍相等。
等量减等量，余量仍相等。
彼此重合的东西是相等的。
整体大于部分。

《原本》，第一篇到第四篇讲直边形和圆的基本性质。第一篇的内容是关于全等形的一些熟知定理，平行线，Pythagoras定理（毕达哥拉斯定理或勾股定理），初等作图法，等价形（有等面积的图形）和平行四边形。第二篇中突出内容是对于几何代数法的贡献。在当时，希腊人不承认存在无理数（希帕苏斯甚至因为提出根号二被老师毕达哥拉斯和其同学们选择扔入海中），所以不能从数量上处理所有长度、面积、角度和体积。第三篇含37个命题，它开头给出有关圆的一些几何定义，然后着手讨论弦、切线、割线、圆心角及圆周角等等。第四篇在它的16个命题里论述圆的内接和外切图形，如三角形、正方形、正五边形和正六边形，最后的命题讲怎样在一给定圆内作正15边形。

根据Eudoxus（欧多克索斯）的工作而写成的这第五篇（比例篇），被人认为是Euclid（欧几里德）几何的最大成就。同《原本》任何其他部分相比，它的内容被人讨论得最多，它的意义被人争论得罪激烈，在Eudoxus（欧多克索斯）以前应用比例关系的数学家，一般在用不可公度量时没有可靠的理论根据。第五篇把比例关系的理论推广到不可公度量从而避免了无理数。第六篇（相似形）里利用第五篇的比例理论讨论相似形。

第七、八、九篇讲述数论、即讲述关于整数和整数之比的性质。这三篇是《原本》中纯粹讨论算术的唯一篇章。在第九篇中值得指出的是：命题14，若一数是能为一些质数所量尽的最小数，则除了原来能量尽它的这些质数以外不能再为别的质数所量尽。这个命题的意思是说，若a是质数p、q……的乘积，则a分解为质数乘积的形式是唯一的（现代计算机的密码和安全，很多情况下就是利用了这个质数的特性）。

第十篇着手对无理量（与给定量不可公度的量）进行分类。第十一、十二、十三篇是立体几何及穷竭法。第十一篇开始讲立体几何，但仍有一些平面几何的重要定理。第十二篇含18个关于面积和体积的定理。特别是关于曲线和曲面所围形体的面积和体积。本篇的主要思想是穷竭法，这是得自Eudoxus（欧多克索斯）的，表述在第十篇定理1中。举例说，为证明两圆面积之比等于其直径平方之比。此法就以内接正多边形愈益密切地接近两圆，而因定理对正多边形成立，故证明了它对圆也成立。穷竭一词起因于相继做正内切多边形“穷竭”了圆的面积，希腊人未用这个名称，这是17世纪人起的名称。第十三篇进正多边形本身的性质及其内接圆时的性质，并论述怎样把五种正多边体接于一个球的问题。它又证明（凸的）正多面体不能多于五种，最后这一结果是该篇中最末一个命题（命题18）的推论。

《原本》十三篇中共含467个命题。有些版本还多两篇。其中有关于正多面体的更多结果，但第十五篇写的不清楚不准确。那两篇都是Euclid（欧几里德）以后的人写的，第十四篇是Hypsicles（许普西克勒斯，约公元前150年）写的，而第十五篇的有些部分可能是其他人在公元6世纪这样的时候写的。

希腊亚历山大时期，阿基米德（Archimedes）他的数学工作包括用穷竭法求面积和体积，计算π（在这过程中他算出了平方根的不足近似值和过剩近似值），并提出用语言表达过剩近似值的一种新法案。

从算术之以一门独立学科重新出现这一角度来讲Nichomachus的著作《算术入门》（Introductio Arithmetica）一书可以喝《原本》对于几何的重要性相比。这是第一本篇幅颇为可观的完全脱离几何讲法的算术（意即数论）。在书中数代表对象的数量而不再像《原本》中那样用线段来把它形象化。

克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）在《大汇编》（Almagest或翻译为《天文学大成》，该书提出了地心说）中说（出自第八篇第二章末段），“天文学应力求使数学模型最为简单”。这些人也像其他希腊学者一样，并不寻求关于运动的物理解释。关于这一点托勒密说：“总之，一般来说第一性原理的终因若不是无关紧要便是很难说明其本质的。”不过他自己的数学模型（指地心说）以后却被基督教认识视为只字不改的真理。

P194-人们把数学之成为抽象化科学归功于希腊人。这一重大贡献有其不可估量的意义和价值，因为同一个抽象的三角形或代数方程能应用于几百种不同的自然现象一事，正是数学的力量和奥秘之所在。

P227-于此就确立了数学的两种独立的传统或概念：一种是希腊人所树立的那套逻辑演义知识，其更大的目的是了解自然；另一种源于经验力求使用的数学，它由埃及人和巴比伦人打下基础，为一些亚历山大的希腊数学家所重新拣起而为印度人和阿拉伯人所进一步推广。前者重视几何，后者重视算术与代数。这两种传统和两种目标此后继续起作用。

P257-达芬奇（Leouardo）郑重宣布他不相信经院派学者奉为金科玉律的知识（PS：主要是亚里士多德）。他对这些读书人是这样描写的：他们高傲自大，卖弄学问，并非以自己的钻研所得而只是以背诵别人的成果来炫耀自己。他们只是别人学问的朗诵者和吹鼓手。

P323-费马（Fermat）还写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”可惜的是，费马的证明（要是他真正有的话）从未被人找到过，而后代上百名最优秀的数学家都未能给予证明。